MATRICES

MATRIZ

DEFINICIÓN :  Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrado en grandes paréntesis rectangulares. Las matrices por lo regular se denotan con letras mayúsculas negritas como A, B o C.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE MATRICES 

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

  

    

   




<sub>MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR ESCALAR


la multiplicación de una matriz por un escalar se refiere a la operación de multiplicar una matriz por un numero real</sub> 

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES 

Para poder multiplicar dos matrices, la primera debe tener el mismo número de columnas que filas la segunda. La matriz resultante del producto quedará con el mismo número de filas de la primera y con el mismo número de columnas de la segunda.

Es decir, si tenemos una matriz 2 ´ 3 y la multiplicamos por otra de orden 3 ´ 5, la matriz resultante será de orden 2 ´ 5.

SISTEMA DE ECUACIONES EN FORMA MATRICIAL

Usando la idea de multiplicación de matrices, los sistemas de ecuaciones lineales pueden escribirse en la forma de ecuaciones matriciales.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES

MATRIZ AUMENTADA  

En álgebra lineal, la matriz aumentada, o matriz ampliada, de una matriz se obtiene al combinar dos matrices tal y como se muestra a continuación.

Sean las matrices ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle B}$, donde

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&0&1\\5&2&2\end{bmatrix}},B={\begin{bmatrix}4\\3\\1\end{bmatrix}}}$

Entonces la matriz aumentada ${\displaystyle (A|B)}$ se representa de la siguiente manera:

${\displaystyle (A|B)={\begin{bmatrix}1&3&2&4\\2&0&1&3\\5&2&2&1\end{bmatrix}}}$

Esta notación es útil para resolver sistemas de ecuaciones lineales dados por matrices cuadradas. También se puede utilizar para encontrar la inversa de una matriz.

 Las tres operaciones elementales por renglones aplicadas a la matriz aumentada que representa un sistema de ecuaciones lineales son:

•    Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.
•  Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón.
•  Intercambiar dos renglones.

El proceso de aplicar las operaciones elementales por renglones para simplificar una matriz aumentada se llama reducción por renglones.

EJEMPLO:

sistema singulares 

Matriz singular. Es la matriz cuadrada de orden N cuyo determinante es nulo.

En este caso, el sistema de ecuaciones lineales asociado a dicha matriz no tiene solución o tiene infinitas soluciones coincidentes.

INVERSAS Y DETERMINANTES 

La matriz inversa de una matriz cuadrada es otra matriz cuyo producto por la primera es igual a la matriz unidad o identidad: 

Supongamos que el sistema es cuadrado, esto es, m = n.

El método consiste en que si A es regular (por tanto, el sistema es compatible determinado) podemos multiplicar el sistema por la inversa de A, A^-1:

DETERMINANTES MÉTODO DE SARRUS